Τα μαθηματικά πίσω από το διαδικτυακό πόκερ

Αν έχετε ανακατέψει ποτέ μια τράπουλα, είναι σχεδόν σίγουρο πως έχετε δημιουργήσει μια μοναδική διάταξη των φύλλων της τράπουλας. Δηλαδή, είστε πιθανώς το μόνο άτομο (από τότε που ανακαλύφθηκε η τράπουλα) που έχει τακτοποιήσει ποτέ τα φύλλα με αυτήν ακριβώς τη σειρά. Αν και αυτός ο ισχυρισμός ακούγεται απίστευτος, είναι ένα εξαιρετικό παράδειγμα του πόσο συχνά εμφανίζονται οι μεγάλοι αριθμοί σε καθημερινές καταστάσεις. Μάλιστα, μερικές φορές μπορεί να προκαλέσουν αναπάντεχες συνέπειες, όπως ανακάλυψαν με οδυνηρό τρόπο οι δημιουργοί ενός διαδικτυακού παιχνιδιού πόκερ στα τέλη της δεκαετίας του 1990.

Τα μαθηματικά του ανακατέματος των φύλλων μιας τράπουλας είναι αρκετά εύκολο να εξηγηθούν. Μια τράπουλα 52 φύλλων μπορεί να διαταχθεί με 52×51×50× … ×2×1= 52! διαφορετικούς τρόπους. Αν κάνετε τον πολλαπλασιασμό και στρογγυλοποιήσετε την απάντηση, θα πάρετε έναν αριθμό που ακολουθείται από 67 μηδενικά (8,07×1067). Συγκριτικά, ο αριθμός των ατόμων που συνιστούν την μάζα της Γης είναι περίπου 1050 , ενώ το σύμπαν περιέχει περίπου 1080 άτομα.

Υπάρχουν λοιπόν πολλοί, πολλοί διαφορετικοί τρόποι για να αναδιάταξετε 52 τραπουλόχαρτα. Αλλά για να μάθουμε πόσο πιθανό είναι κάποιος άλλος άνθρωπος στη Γη να δημιουργήσει τυχαία την ίδια ακολουθία φύλλων ανακατεύοντας μια τράπουλα, δεν αρκεί απλώς να υπολογίσουμε το κλάσμα 1/(52!). Αυτός ο αριθμός δείχνει απλώς πόσο πιθανό είναι να ανακατέψετε την τράπουλα σε μια συγκεκριμένη διάταξη φύλλων. Υπάρχει ένα κρίσιμο ερώτημα που πρέπει να λάβετε υπόψιν: Πόσο πιθανό θα ήταν για δύο ή περισσότερους ανθρώπους στη Γη να ανακατέψουν τυχαία μια τράπουλα με τον ίδιο τρόπο;

Η εξαιρετική σπανιότητα μιας τυχαίας επανάληψης

Αυτή η ερώτηση θυμίζει το παράδοξο των γενεθλίων. Λειτουργεί σύμφωνα με την ίδια αρχή: Είναι μάλλον απίθανο ένας μαθητής σε μια τάξη να έχει γενέθλια σε μια δεδομένη ημερομηνία – σε μια ομάδα 30 ατόμων, η πιθανότητα γιαυτό είναι 1 − (364 / 365)30 ≈ 7,9%. Ωστόσο, η πιθανότητα δύο μαθητές να γεννηθούν την ίδια ημέρα είναι μεγαλύτερη από 70%. Ο λόγος για αυτή την φαινομενική απόκλιση είναι ότι οι άνθρωποι συνήθως υποτιμούν τον αριθμό των πιθανών ζευγών μαθητών. Από 30 μαθητές, μπορούν να σχηματιστούν 435 ζευγάρια. Τότε η πιθανότητα κάθε ζεύγους μαθητών να γεννήθηκε διαφορετική ημέρα δεν φαίνεται τόσο υψηλή.

Αν θέλετε να μάθετε πόσο πιθανό είναι να ανακατέψετε τυχαία μια τράπουλα με τον ίδιο τρόπο όπως θα το έκανε οποιοσδήποτε άλλος άνθρωπος στη Γη, υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να το κάνετε. Ό ένας είναι να υπολογίσετε πρώτα την πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος και στη συνέχεια να αφαιρέσετε το αποτέλεσμα από το 1. Αυτό σημαίνει ότι πρώτα εξετάζετε πόσο πιθανό είναι όλοι οι άνθρωποι στον κόσμο να δημιουργήσουν μια εντελώς νέα διάταξη κατά την ανάμειξη: το πρώτο άτομο έχει πιθανότητα 1, το δεύτερο πιθανότητα (52! – 1)/52!, το τρίτο (52! – 2)/52!, κ.ο.κ. Στη συνέχεια, αφαιρέστε αυτό το αποτέλεσμα από το 1. Αν υπάρχουν οκτώ δισεκατομμύρια άνθρωποι στον κόσμο, η πιθανότητα πολλά άτομα να δημιουργήσουν το ίδιο ανακάτεμα καρτών μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Το πρόβλημα είναι ότι η αριθμομηχανή (ή μάλλον, το διαδικτυακό πρόγραμμα Wolfram|Alpha) αποτυγχάνει όταν προσπαθεί να υπολογίσει αυτόν τον τύπο. Έτσι, μια πολύ πρόχειρη εκτίμηση αυτής της πιθανότητας είναι:

Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα δύο ή περισσότεροι άνθρωποι στον κόσμο να δημιουργήσουν την ίδια διάταξη σε μια τράπουλα είναι μικρότερη από 0,0000…08% – ένας αριθμός με 46 μηδενικά πριν από το πρώτο μη μηδενικό δεκαδικό ψηφίο!

Με αυτό το παράδειγμα, φαίνεται ξεκάθαρα ότι είναι εξαιρετικά απίθανο οι άνθρωποι σε όλο τον κόσμο να δημιουργήσουν τυχαία την ίδια διάταξη φύλλων σε τράπουλα ανακατεύοντάς την. Αλλά το πιο πιθανό είναι να έχετε ανακατέψει τράπουλα πολλές φορές στη ζωή σας – όχι μόνο μία φορά. Πώς αλλάζει το αποτέλεσμα αν υποθέσουμε ότι κάθε άτομο ανακατεύει περίπου 100 τράπουλες στη ζωή του; Αντικαθιστώντας τα οκτώ δισεκατομμύρια στην προηγούμενη εκτίμηση με 800 δισεκατομμύρια, διαπιστώνουμε ότι η πιθανότητα σε αυτήν την περίπτωση είναι μικρότερη από 4×10−44. Με άλλα λόγια, οι πιθανότητες δεν αλλάζουν πολύ. Ακόμα κι αν κάθε άτομο στον κόσμο ανακατέψει μια τράπουλα 100 φορές, είναι σχεδόν απίθανο η ίδια διάταξη φύλλων να εμφανιστεί δύο φορές.

Επιπλέον, αν λάβουμε υπόψιν κάθε άτομο που ζει ή έχει ζήσει ποτέ στη Γη – σύμφωνα με ορισμένες εκτιμήσεις, περίπου 117 δισεκατομμύρια άνθρωποι – καθένας από τους οποίους έχει ανακατέψει μια τράπουλα περίπου 100 φορές (κάτι που είναι απίθανο, δεδομένου ότι η τράπουλα εμφανίστηκε γύρω στα 1000 μ.Χ.), τότε η πιθανότητα η ίδια διάταξη να δημιουργήθηκε πολλές φορές είναι μικρότερη από 1,7×10−42.

Επομένως, είναι πραγματικά εξαιρετικά απίθανο δύο άνθρωποι σε ολόκληρη την ιστορία της ανθρωπότητας να έχουν ανακατέψει ποτέ μια τράπουλα με τον ίδιο τρόπο (υποθέτοντας ότι ανακάτεψαν τις κάρτες με τυχαία). Αυτό δείχνει πόσο μεγάλος αριθμός είναι το 52! και πόσες τεράστιες δυνατότητες υπάρχουν για την διάταξη 52 φύλλων.

Πώς θα μπορούσες να κερδίσεις στο online πόκερ όταν πρωτοεμφανίστηκε στο διαδίκτυο

Η απεραντοσύνη του 52! έχει θέσει ορισμένα σημαντικά πρακτικά προβλήματα για τους προγραμματιστές online παιχνιδιών. Το διαδικτυακό πόκερ μπορεί να περιλαμβάνει μεγάλα χρηματικά ποσά, επομένως είναι κρίσιμο αυτό το παιχνίδι να είναι όσο το δυνατόν πιο ασφαλές και δίκαιο. Οποιαδήποτε ελαττώματα ή κενά θα μπορούσαν να τα εκμεταλλευτούν οι παίκτες ή να χρησιμοποιηθούν από το καζίνο εναντίον των παικτών.

Τα ψηφιακά φύλλα της τράπουλας θα πρέπει να ανακατεύονται καλά και να μοιράζονται τυχαία, όπως ακριβώς γίνεται με τις πραγματικές. Σε έναν ιδανικό κόσμο, ένας αλγόριθμος θα επέλεγε τυχαία μια διάταξη από τις πιθανές τράπουλες 52!. Αλλά κανένας υπολογιστής δεν έχει αρκετή μνήμη για να υπολογίσει όλες αυτές τις πιθανότητες και δεν υπάρχει ακόμη μια τέλεια γεννήτρια τυχαίων αριθμών. Επομένως, οι προγραμματιστές βασίζονται σε αλγόριθμους που προσομοιώνουν με γενικό τρόπο το ανακάτεμα φύλλων.

Στα τέλη της δεκαετίας του 1990, η πλατφόρμα ανάπτυξης ASF Software παρείχε σε αρκετούς παρόχους online πόκερ, όπως το Planet Poker, αλγόριθμους για το ανακάτεμα των φύλλων της ψηφιακής τράπουλας. Η πλατφόρμα δημοσίευσε ακόμη και τον αλγόριθμο στον ιστότοπό της ως απόδειξη ότι το παιχνίδι ήταν αξιόπιστα προγραμματισμένο. Αυτή η ανάρτηση τράβηξε την προσοχή μιας εταιρείας πληροφορικής, της Reliable Software Technologies. «Μόλις είδαμε τον αλγόριθμο, αρχίσαμε να υποψιαζόμαστε ότι μπορεί να υπήρχε κάποιο πρόβλημα. Μια μικρή έρευνα απέδειξε ότι αυτή η διαίσθηση ήταν σωστή», έγραψαν σε έναν ιστότοπο ανάπτυξης λογισμικού (How We Learned to Cheat at Online Poker: A Study in Software Security).

Ο αλγόριθμος ξεκινούσε με μια τακτοποιημένη τράπουλα και στη συνέχεια αντάλλασε δύο φύλλα κάθε φορά σε διάφορα βήματα. Για να το κάνει αυτό, το πρόγραμμα χρησιμοποιούσε μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών συνδεδεμένη με την ώρα συστήματος του υπολογιστή. Υπάρχουν όμως αρκετοί περιορισμοί σε αυτήν τη μέθοδο. Πρώτον, ο μηχανισμός εναλλαγής εφαρμόστηκε έτσι ώστε ορισμένες διατάξεις φύλλων να ευνοούνται και να είναι πιο πιθανό να εμφανιστούν από άλλες. Δεύτερον, το σύστημα συνδέει την παραγωγή αριθμών με τον αριθμό των δευτερολέπτων που έχουν περάσει από τα μεσάνυχτα, μηδενίζοντας μία φορά κάθε μέρα, γεγονός που περιορίζει περαιτέρω τις πιθανές τυχαίες τιμές. Η ομάδα Reliable Software Technologies ανακάλυψε ότι μόνο περίπου 86 εκατομμύρια διατάξεις μπορούσαν να δημιουργηθούν με αυτόν τον τρόπο.

Οι προγραμματιστές στη συνέχεια συνειδητοποίησαν ότι επειδή το σύστημα είναι συνδεδεμένο με ένα ρολόι για να τυχαιοποιεί τα ανακατέματα, η διάταξη των φύλλων θα μπορούσε να περιοριστεί περαιτέρω λαμβάνοντας υπόψη αυτό το χρονόμετρο. Ο συγχρονισμός του δικού τους προγράμματος με το ρολόι συστήματος μείωσε τις δυνατότητες σε μόλις 200.000 πιθανές διατάξεις τράπουλας που θα μπορούσε να δημιουργήσει ο αλγόριθμος. «Μετά από αυτήν την κίνηση, το σύστημα ήταν δικό μας, αφού η αναζήτηση σε αυτό το μικρό σύνολο ανακατεμάτων είναι ασήμαντη και μπορεί να γίνει με έναν υπολογιστή σε πραγματικό χρόνο», έγραψαν. Θυμηθείτε ότι αυτό συνέβη τη δεκαετία του 1990, όταν οι δυνατότητες των υπολογιστών ήταν πολύ μικρότερες σε σχέση με σήμερα.

Οι υπάλληλοι της Reliable Software Technologies ανέφεραν αυτές τις αδυναμίες στους προγραμματιστές του αλγορίθμου, οι οποίοι τον αναθεώρησαν αμέσως. Σήμερα, πολλές ιστοσελίδες online πόκερ χρησιμοποιούν τον αλγόριθμο Fisher-Yates,. Είναι εύκολος στην εφαρμογή του και προσφέρει ικανοποιητικά αποτελέσματα.

Βεβαίως, και οι νέοι αλγόριθμοι εμφανίζουν αδυναμίες – οι γεννήτριες τυχαίων αριθμών απλά δεν είναι ακόμα επαρκώς αξιόπιστες για να κάνουν αυτό που μπορούν να κάνουν οι άνθρωποι με μια πραγματική τράπουλα. Αλλά ακόμα και ο πιο επιδέξιος άνθρωπος-ντίλερ δεν μπορεί να πετυχαίνει το τέλειο ανακάτεμα κάθε φορά.

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες: «How the Math of Shuffling Cards Almost Brought Down an Online Poker Empire» –https://www.scientificamerican.com/article/how-the-math-of-shuffling-cards-almost-brought-down-an-online-poker-empire/

https://physicsgg.me/